SOAL :
1.
Sebuah dadu
dilempar ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas peristiwa dari mata
dadu 5 muncul 1 kali? [1]
2. Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pemulihan?[2]
2. Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pemulihan?[2]
3.
Rata-rata seorang
sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang
bahwa pada halaman berikut ia membuat: [3]
a.
tidak
ada kesalahan?
b.
3
kesalahan per halaman?
TINJAUAN PUSTAKA
1.
Peluang
atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk
mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku
atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika,
dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika
atau statistika,
tapi juga keuangan,
sains dan filsafat.[4]
2.
Distribusi
probabilitas dipergunakan untuk menggambarkan frekuensi relatif munculnya
harga-harga tertentu (yang dapat dihitung maupun diukur) dari suatu variabel
random. Beberapa macam dari distribusi probabilitas atau density
distribution untuk variabel random yang deskrit yaitu distribusi binomial,
distribusi multinominal, dan distribusi Poisson. Sedangkan untuk variabel
random yang kontinyu adalah distribusi normal (Gaussian).[5]
3.
Beberapa
macam dari distribusi probabilitas atau density distribution yaitu
distribusi binomial, distribusi hypergeometrik, dan distribusi Poisson
4.
Distribusi
Binomial
a. Definisi Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah suatu distribusi
probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat
diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan
sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi
gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita
dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau
“gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut
bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar
½..(Ronald E. Walpole).[6]
b. Syarat-Syarat Distribusi Binomial[7]
a) Percobaan binomial terdapat atas n ulangan yang identik
b) Dalam setiap ulangan mungkin dihasilkan dua kejadian yaitu sukses atau
gagal
c) Peluang untuk berhasil dan setiap ulangan adalah p dan nilai q bersifat
konstan
d) Setiap ulangan bersifat bebas dari ulangan lainnya, atinya hasil dari suatu
ulangan tidak mempengaruhi hasil ulangan lainnya.
c.
Sifat
Distribusi Binomial[8]
Nilai
tengah
|
ยต = Np
|
Varians
|
2= Npq
|
Koefisisen momen kemencengan
|
ฮฑ3=
|
Koefisien momen kurtosis
|
ฮฑ4= 3 +
|
d. Rumus Distribusi Binomial
e.
Tabel
Peluang Binomial
Soal-soal peluang peluang binomial dapat diselesaikan dengan
bantuan Tabel Distribusi Peluang Binomial. Cara membaca Tabel tersebut:
Misal :
n
x p =
0.10 p = 0.15
p = 0.20 dst
5
0
0.5905
0.4437
0.3277
1
0.3280
0.3915
0.4096
2
0.0729
0.1382
0.2048
3
0.0081
0.0244
0.0512
4
0.0004
0.0020 0.0064
5
0.0000
0.0001
0.0003
Perhatikan Total setiap Kolom p = 1.0000 (atau karena pembulatan,
nilainya tidak persis = 1.0000 hanya mendekati 1.0000)
x = 0 n = 5 p =
0.10
b(0; 5, 0.10) = 0.5905
x =1 n = 5 p =
0.10
b(1; 5, 0.10) = 0.3280
Jika 0 x 2, n = 5 dan p = 0.10 maka b(x; n, p) =
b(0; 5, 0.10)+ b(1; 5, 0.10)+b(2;5,0.10) =
0.5905.3280 +0.0729 = 0.9914
5.
Distribusi
Hypergeometrik
a.
Definisi
Distribusi Hypergeometrik
Distribusi hipergeometrik amat mirip penggunaanya
dengan binomial . Perbedaannya terletak pada cara pengambilan sampelnya . Untuk
kasus binomial, diperlukan kebebasan antara usaha. Penggunaan distribusi hipergeometrik
terdapat pada pengujian yang dilakukan terhadap barang yang diuji mengakibatkan
barang yang teruji tersebut menjadi rusak,jadi tidak dapat dikembalikan.
Contohnya pada pengujian elektronik, dan pengendalian mutu.[9]
b.
Syarat-syarat
Distribusi Hypergeometrik[10]
a)
Percobaan
tunggal yang menyusunnya hanya mempunyai 2 hasil yang mungkin, katakanlah ya
atau tidak
b)
Peluang
terjadinya kejadian yang dimaksud (ya) berubah bila percobaan diulang-ulang
c)
Percobaan
satu dengan yang lain saling tergantung
d)
Percobaan
dilakuakan dengan n kali
6.
Distribusi
Poisson
a.
Definisi
Distribusi Poisson[13]
Dalam
teori
probabilitas dan statistika, distribusi
Poisson (dilafalkan [pwasษ̃]) adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang
jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata
kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian
terakhir. (distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada
interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).
Percobaan
Poisson memiliki ciri-ciri berikut :
a)
Hasil
percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang
lain yang terpisah
b)
Peluang
terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini
berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan
luas daerah yang sempit
c)
Peluang
bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama
diabaikan
c.
Sifat
Distribusi Poisson
Rata-rata
|
ยต = m
|
Standar deviasi
|
=
|
Varians
|
= m
|
Skewness
|
ฮณ1 = (1/)
|
kurtosis
|
‘ฮณ2 = 3 + (1/m)
|
d.
Tabel
Peluang Distribusi Poisson[15]
Tabel Peluang Poisson
Seperti
halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan
Tabel Poisson. Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan
Tabel Binomial
Misal: x m =
4.5 m = 5.0
0 0.0111 0.0067
1
0.0500 0.0337
2
0.1125 0.0842
3
0.1687 0.1404
. .. ..
15
0.0001 0.0002
poisson(2; 4.5) = 0.1125
OUTPUT
AND INTERPRETASI
A.
HASIL
MINITAB
a.
Binomial
Probability Density Function
Binomial with n = 4 and p = 0,16
x
P( X = x )
1
0,379331
b.
Hypergeometric
Probability Density Function
Hypergeometric with N = 5, M = 4,
and n = 2
x
P( X = x )
2 0,6
c.
Poisson
Probability Density Function
Poisson with mean = 5
x
P( X = x )
0
0,0067379
Probability
Density Function
Poisson with mean = 5
x
P( X = x )
3
0,140374
B.
INTERPRETASI
1.
Distribusi
binomial adalah suatu distribusi
probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat
diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Dari hasil minitab dan manual
diperoleh hasil : P(x = 1) =
0,386
2.
Distribusi
Hypergeometrik adalah suatu kegiatan yang mana pengambilan sampel pada suatu
populasi dan tidak diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas dan dikerjakan tanpa
pengembalian (without replacement) dan dari hasil minitab dan manual diperoleh :
N =
5
n = 4
k = 2
x = 2
N-k =
3 n-x=2
h(2; 5, 4,2) =
3.
Distribusi
Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah
peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian
tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir.
Dari hasil minitab dan manual diperoleh :
a.
Peluang
halaman tidak ada kesalahan (x = 0, = 5.0)
:
P(0
; 5.0) = 0.0067
b.
Peluang
setiap halaman ada 3 kesalahan (x 3, = 5.0) :
P(x
3 ; 5.0) = 0.1404
[7] Turmudi & sri harini. 2008. Metode Statistika.
Malang : UIN – MALANG PRESS. Hal.189
[9]
http://khoirilngeblog.files.wordpress.com/2011/01/hypergeometrik.pdf
[10] Turmudi
& sri harini. 2008. Metode Statistika. Malang : UIN – MALANG PRESS. Hal.192
[11]
Statistika dasar-distributif teoritis, pertemuan 10 hal 3
[12]
Statistika dasar-distributif teoritis, pertemuan 10 hal 2
[13]
http://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_Poisson
[15]
Statistika dasar-distributif teoritis, pertemuan 12 hal 2